北京市第八中学2019-2020学年高一（上）数学十月月考
一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确选项)
1. 已知,,,则下列运算中错误的是
（A） （B）
（C） （D）
2. 已知,,则
（A） （B） （C） （D）
3. 已知是实数,则使成立的一个必要不充分条件是
（A） （B） （C） （D）
4. 不等式对一切实数恒成立,则的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
5. 已知集合,,,则的关系为
（A） （B） （C） （D）
6. 在如图电路图中,闭合开关是灯泡亮的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
7. 命题:,则是
（A） （B）
（C） （D）
8. 已知,,且,那么实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上)
9. 在实数范围内因式分解,.
10. 不等式的解集是.
11. 已知的两实根为,则以为两根的一个一元二次方程是.
12. 已知方程有两个正根,则实数的取值范围是.
13. 已知关于的一元二次方程,两个实根的平方和为,则实数的值为.
14. 设是一个数集,且至少含有两个数.若对任意的,都有,则称是一个数域.如有理数集是数域.有以下命题:
① 数域必含有两个数;
② 整数集是数域;
③ 若有理数集,则数集必为数域;
④ 数域必为无限集.
其中正确命题的序号是:.
三、解答题(每题10分，共30分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
15. （本小题满分10分）
集合,,.
（Ⅰ）若,求的值;
（Ⅱ）若,,求的值.
16. （本小题满分10分）
解下列不等式.
（Ⅰ）
（Ⅱ）
17. （本小题满分10分）
解关于的不等式(为任意实数):
四、附加题(本题10分，计入总分)
18. （本小题满分10分）
若是关于的方程的两个实数根,且,则称方程为”偶系二次方程”.如方程,,,等都是”偶系二次方程”.
（Ⅰ）判断方程是不是”偶系二次方程”,并说明理由;
（Ⅱ）对于任意一个整数,是否存在实数,使得关于的方程为”偶系二次方程”,并说明理由.
答案
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
答案 |
D |
D |
D |
C |
B |
A |
B |
D |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 10.
11. 12.
13. 14.①④
三、解答题:
15. （本小题满分10分）
解:由题意,,.
（Ⅰ）因为,所以.
又,则,解得.
（Ⅱ）由于,而,
则,即,解得或.
由（Ⅰ）知,当时,.
此时,矛盾,舍去.
因此.
16. （本小题满分10分）
解:（Ⅰ）原不等式可变形为,
即,又等价于.
由穿线法,解得原不等式的解集为.
（Ⅱ）当时,原不等式恒成立;
当时,原不等式两边平方,得,
令,则,解得或,
又,有或.
综上,原不等式的解集为.
17. （本小题满分10分）
解:当时,原不等式退化为,解得;
当时,原不等式可化为,即,.
当时,,则原不等式的解集为;
当时,,,
当,即时,有,则原不等式的解集为;
当,即时,则原不等式的解集为;
当,即时,则原不等式的解集为.
四、附加题:
18. （本小题满分10分）
解:（Ⅰ）不是.
解方程,得,.
.
因为不是整数,所以方程不是偶系二次方程.
（Ⅱ）存在.
由题意,和都是偶系二次方程,
因此可设,
当,时,有;
又是偶系二次方程,
则时,,所以.
对于任意的整数,设,则有.
则由求根公式,有,.
所以
又是整数,所以对于任意一个整数,当时,关于的方程是偶系二次方程.
