课时作业(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、选择题
1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x0∉A,2x0∈B D．綈p：∃x0∈A,2x0∉B
解析：命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x0∈A,2x0∉B，故选D.
答案：D
2．命题“∃x0≤0，x≥0”的否定是( )
A．∀x≤0，x2 B．∀x≤0，x2≥0
C．∃x0>0，x>0 D．∃x0，x≤0
解析：命题的否定，存在改为任意，同时x≥0改为x2
答案：A
3．(2017·皖江名校联考，2)命题p：存在x0∈，使sin x0＋cos x0>；命题q：命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1，则四个命题(綈p)∨(綈q)、p∧q、(綈p)∧q、p∨(綈q)中，正确命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为sin x＋cos x＝sinx＋≤，故命题p为假命题；特称命题的否定为全称命题，易知命题q为真命题，故(綈p)∨(綈q)真，p∧q假，(綈p)∧q真，p∨(綈q)假．
答案：B
4．(2017·河南商丘二模，6)命题p：函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝的值域为(0,1)，下列命题是真命题的为( )
A．p∧q B．p∨q
C．p∧(綈q) D．綈q
解析：令t＝x2－2x，则函数y＝log2(x2－2x)化为y＝log2t，由x2－2x>0，得x或x>2，所以函数y＝log2(x2－2x)的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．函数t＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x＝1，所以函数t＝x2－2x在(－∞，0)∪(2，＋∞)上的增区间为(2，＋∞)．又因为函数y＝log2t是增函数，所以复合函数y＝log2(x2－2x)的单调增区间是(2，＋∞)，所以命题p为假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0，所以函数y＝的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．故选B.
答案：B
5．(2017·山东临沂一模，5)下列四个结论中正确的个数是( )
①“x2＋x－2>0”是“x>1”的充分不必要条件；
②命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”；
③“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为真命题；
④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：对于①，由x2＋x－2>0解得x－2或x>1，故“x2＋x－2>0”是“x>1”的必要不充分条件，故①错误，
对于②，命题“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0>1”，故②正确，
对于③，“若x＝，则tan x＝1”的逆命题为“若tan x＝1，则x＝”，若tan x＝1，则x＝kπ＋(k∈Z)，故命题“若tan x＝1，则x＝”为假命题，故③错误，
对于④，f(x)是R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，∵log32＝≠－log23，∴log32与log23不互为相反数，故④错误．故选A.
答案：A
6．已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]
解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.
答案：A
二、填空题
7．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为________________________________________________________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
8．下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab，则a2＋b2≤4”．
其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧(綈q)”是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab，则a2＋b2≤4”正确．
答案：①③
9．已知命题p：“存在a>0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R,16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围________．
解析：若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0a≤1.
若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根．
∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16，∴a.
∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p，q都为真，
∴∴a≤1.
故实数a的取值范围为.
答案：
三、解答题
10．已知命题p：存在一个实数x，使ax2＋ax＋1当a∈A时，非p为真命题，求集合A.
解析：非p为真，即“∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0”为真．
若a＝0，则1≥0成立，即a＝0时非p为真；
若a≠0，则非p为真⇔⇔0a≤4.
综上知，所求集合A＝{a|0≤a≤4}．
11．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2，其中a>0.q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解析：由x2－4ax＋3a2，且a>0，得ax3a，
即p为真命题时，ax3a，
由得，
即2x≤3，
即q为真命题时2x≤3.
(1)当a＝1时p：1x
由p∧q为真知p、q均为真命题，
则由得2x，
所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)设A＝{x|ax3a}，B＝{x|2x≤3}，
由题意知p是q的必要不充分条件，
所以BA，
有
∴1a≤2，
所以实数a的取值范围是(1,2]．
12．已知函数f(x)＝
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)已知m∈R，命题p：关于x的不等式f(x)≥m2＋2m－2对任意m∈R恒成立；q：函数y＝(m2－1)x是增函数．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
解析：(1)作出函数f(x)的图象，可知函数f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值为f(x)min＝f(－2)＝1.
(2)对于命题p，m2＋2m－2≤1，故－3≤m≤1；
对于命题q，m2－1＞1，故m＞或m＜－.
由于“p或q”为真，“p且q”为假，则
①若p真q假，则解得－≤m≤1.
②若p假q真，则，解得m＜－3或m＞.
故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪[－，1]∪(，＋∞)．
