课时作业(十三) 变化率与导数、导数的计算
一、选择题
1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
答案：C
2．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，
∴f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
答案：C
3．f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，则x0等于( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
解析：f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，由f′(x0)＝2 017，得2 017＋ln x0＝2 017，则ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：B
4．设曲线y＝在点，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B.
C．－2 D．2
解析：∵y′＝，∴y′|＝－1，
由条件知＝－1，∴a＝－1，故选A.
答案：A
5．(2017·河北衡水四调)设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝ax＋2cos x上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为( )
A．[－1,2] B．(－1,2)
C．[－2,1] D．(－2,1)
解析：由题意得f′(x)＝－ex－1，g′(x)＝a－2sin x，则∀x1∈R，∃x2∈R，使得(－ex1－1)(a－2sin x2)＝－1，即函数y＝的值域为函数y＝a－2sin x2的值域的子集，从而(0,1)⊆[a－2，a＋2]，即a－2≤0，a＋2≥1⇒－1≤a≤2，故选A.
答案：A
6．(2016·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )
A．(0,1) B．(0,2)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：设P1(x1，ln x1)，P2(x2，－ln x2)(不妨设x1>1,0x2，则由导数的几何意义得切线l1，l2的斜率分别为k1＝，k2＝－.
由已知得k1k2＝－1，所以x1x2＝1.所以x2＝.
所以切线l1的方程为y－ln x1＝(x－x1)，切线l2的方程为y＋ln x2＝－(x－x2)，
即y－ln x1＝－x1(x－).
分别令x＝0得A(0，－1＋ln x1)，B(0,1＋ln x1)．
又l1与l2的交点为P(，ln x1＋).
∵x1>1，
∴S△PAB＝|yA－yB|·|xP|＝＝1.
∴0S△PAB，故选A.
答案：A
二、填空题
7．(2017·武汉市调研测试)曲线f(x)＝xln x在点M(1，f(1))处的切线方程为________．
解析：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝ln 1＋1＝1，即切线的斜率为1.因为f(1)＝0，所以所求切线方程为y－0＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
8．(2017·河北保定模拟，14)已知f(x)＝xln x，若过曲线y＝f(x)上的点P的切线斜率为2，则点P的坐标为________．
解析：设P(m，n)，
易知f′(x)＝1＋ln x，
则切线斜率为1＋ln m＝2，
解得m＝e，
∴n＝mln m＝eln e＝e.
答案：(e，e)
9．如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
解析：由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－＝0.
答案：0
三、解答题
10．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝.
解析：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
(3)y′＝′＝＝
＝＝.
11．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解析：(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
∴斜率最小的切线过(2，)，
斜率k＝－1，
∴切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1.
又∵α∈[0，π]，∴α∈[0，)∪[，π).
故α的取值范围为[0，)∪[，π).
12．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解析：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，
∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.
