课时作业(九) 对数与对数函数
一、选择题
1.＋log2＝( )
A．2 B．2－2log23
C．－2 D．2log23－2
解析：＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B.
答案：B
2．(2017·河南八市质检)若a＝20.3，b＝logπ3，c＝log4cos100，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．a>b>c D．c>a>b
解析：因为20.3>20＝1,0＝logπ1π3ππ＝1，log4cos10041＝0，所以a>b>c，故选C.
答案：C
3．(2017·河北正定质检)设函数f(x)＝则f(－98)＋f(lg30)＝( )
A．5 B．6
C．9 D．22
解析：f(－98)＋f(lg30)＝1＋lg[2－(－98)]＋10lg30－1＝1＋lg100＋＝1＋2＋3＝6，故选B.
答案：B
4．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是( )
解析：当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，
又f(x)的图象关于x＝1对称，故选B.
答案：B
5．已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(3)f(－2)f(1) B．f(1)f(－2)f(3)
C．f(－2)f(1)f(3) D．f(3)f(1)f(－2)
解析：因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)f(2)f(3)．
又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，
所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)f(－2)f(3)．
答案：B
6．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为( )
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在
(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a，即a∈[1,2)．
答案：A
二、填空题
7．(2017·山东济南一模)函数f(x)＝的定义域是________．
解析：⇒⇒⇒10x，故函数的定义域为{x|10x．
答案：{x|10x
8．(2017·湖南四校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．
解析：令t＝x2－ax＋3a，所以函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)＝f(t)，要使得函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是增函数，需满足t＝x2－ax＋3a在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－≤2，所以a≤4，而t＝x2－ax＋3a>0在区间[2，＋∞)上恒成立，所以22－2a＋3a>0，所以a>－4，所以实数a的取值范围是(－4,4]，故应填(－4,4]．
答案：(－4,4]
9．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a＝0有两个实根，则a的取值范围是________．
解析：当x≤0时，0x≤1，由图象可知方程f(x)－a＝0有两个实根，即y＝f(x)与y＝a的图象有两个交点，所以由图象可知0a≤1.
即实数a的取值范围为(0,1]．
答案：(0,1]
三、解答题
10．(1)计算：；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n.
解析：(1)原式
＝
＝
＝
＝＝＝＝1.
(2)∵loga2＝m，loga3＝n，
∴am＝2，an＝3，
∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.
11．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)，
(1)求证：函数f(x)的图象总在y轴的一侧；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解析：(1)证明：∵由ax－1>0可得ax>1，
∴当a>1时，x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
此时函数f(x)的图象总在y轴的右侧；
当0a时，x，即函数f(x)的定义域为(－∞，0)，此时函数f(x)的图象总在y轴的左侧．
∴函数f(x)的图象总在y轴的一侧．
(2)当a>1时，设0x1x2，则1aa，∴0a－1a－1，
∴loga(a－1)a(a－1)，
∴f(x1)f(x2)，
∴当a>1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
当0a时，设x1x2，则a>a>1，
∴a－1>a－1>0，
∴loga(a－1)a(a－1)，
∴f(x1)f(x2)，
∴当0a时，函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
综上可知：函数f(x)＝loga(ax－1)在其定义域上为增函数．
12．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解析：(1)∵f(1)＝1，
∴log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，
这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0得－1x，函数f(x)的定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上递增，
所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，
单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，
则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
