第4讲 不等式
不等式的解法
[核心提炼]
1．一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法
(1)>0()⇔f(x)g(x)>0()；
(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
[典型例题]
(1)已知函数f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f(x)＞0的解集是(－1，3)，则不等式f(－2x)＜0的解集是( )
A.∪
B.
C.∪
D.
(2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4的解集为R，则实数a的取值范围是________．
【解析】 (1)由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1，3)，
所以a＜0，且
解得a＝－1或(舍去)，
所以a＝－1，b＝－3，所以f(x)＝－x2＋2x＋3，
所以f(－2x)＝－4x2－4x＋3，
由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，
解得x＞或x＜－，故选A.
(2)当a＝2时，不等式化为－4，恒成立；
当a≠2时，
由条件知，
解得－2a
综上所述，a的取值范围是(－2，2]．
【答案】 (1)A (2)(－2，2]
不等式的求解技巧
(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．
(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得出不等式的解集．
(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
[对点训练]
1．不等式>1的解集为( )
A. B．(－∞，1)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选A.原不等式等价于－1>0，即>0，整理得，
不等式等价于(2x－1)(x－1)，解得x故选A.
2．(2019·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a2>1(a>0，a≠1)的解集为(－a，2a)，且函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为________．
解析：当a>1时，由题意可得x2－ax－2a2>0的解集为(－a，2a)，这显然是不可能的．当0a时，由题意可得x2－ax－2a2的解集为(－a，2a)，且≥，即x2＋2mx－m≥0恒成立，故对于方程x2＋2mx－m＝0，有Δ＝4m2＋4m≤0，解得－1≤m≤0.
答案：[－1，0]
绝对值不等式
[核心提炼]
1．含绝对值不等式的解法
(1)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法
①若c>0，则|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c，或ax＋b≤－c，然后根据a，b的取值求解即可；
②若c，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
(2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；
②把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；
③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；
④这些解集的并集就是原不等式的解集．
2．绝对值不等式的性质(三角不等式)
(1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．
(2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．
[典型例题]
(1)(2019·绍兴市诸暨市高考二模)已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )
A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3
B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4
C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5
D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2
(2)(2019·新高考研究联盟第一次联考)已知函数f(x)＝|x2－a|＋|x－b|(a，b∈R)，当x∈[－2，2]时，记f(x)的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为________．
【解析】 (1)因为|x－a|≤1，所以a－1≤x≤a＋1，
因为f(x)是二次函数，
所以f(x)在区间[a－1，a＋1]上单调时，|f(x)－f(a)|取得最大值为|f(a＋1)－f(a)|或|f(a－1)－f(a)|，而|f(a＋1)－f(a)|＝|(a＋1)2＋3(a＋1)－a2－3a|＝|2a＋4|≤2|a|＋4，
|f(a－1)－f(a)|＝|(a－1)2＋3(a－1)－a2－3a|＝|－2a－2|＝|2a＋2|≤2|a|＋2.
所以|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4，故选B.
(2)法一：根据对称性，不妨设b≤0，x∈[0，2]，所以f(x)＝|x2－a|＋x－b，所以M(a，b)≥|x2－a|＋x－b≥|x2－a|＋x.
令g(x)＝|x2－a|＋x，x∈[0，2]
①当a≤0时，g(x)＝x2＋x－a，g(x)max＝6－a≥6；
②当0＜a＜4时，g(x)＝
所以当0＜a＜时，g(x)max＝max{，6－a}＝6－a＞；
当≤a＜4时，
g(x)max＝max
＝
所以g(x)max≥.
③当a≥4时，g(x)＝－x2＋x＋a，g(x)max＝＋a≥；
综合①②③得M(a，b)min＝，当且仅当a＝，b＝0时取到．
法二：f(x)＝max{|x2＋x－a－b|，|x2－x－a＋b|}，令f1(x)＝|x2＋x－a－b|，f2(x)＝|x2－x－a＋b|，
g1(x)＝x2＋x－a－b，g2(x)＝x2－x－a＋b，
根据图象可知：f1(x)max
＝max，
f2(x)max＝max.
所以2f1(x)max≥|6－a－b|＋≥＝，
同理：2f2(x)max≥|6－a＋b|＋≥＝，
当且仅当，即时取等号，
所以M(a，b)min＝.
【答案】 (1)B (2)
(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决是常用的思维方法．
(2)对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x－a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y＝|x－a|＋|x－b|的函数只有最小值，形如y＝|x－a|－|x－b|的函数既有最大值又有最小值．
[对点训练]
1．(2019·宁波市六校联盟模拟)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.当a＝－4时，则不等式f(x)≥6的解集为________；若f(x)≤|x－3|的解集包含[0，1]，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＝－4时，f(x)≥6，即|x－4|＋|x－2|≥6，
即或
或，
解得x≤0或x≥6.
所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．
由题可得f(x)≤|x－3|在[0，1]上恒成立．
即|x＋a|＋2－x≤3－x在[0，1]上恒成立，
即－1－x≤a≤1－x在[0，1]上恒成立．
即－1≤a≤0.
答案：(－∞，0]∪[6，＋∞) [－1，0]
2．(2019·杭州学军中学高三模拟)已知a和b是任意非零实数．
(1)求的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)因为≥＝＝4，所以的最小值为4.
(2)不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤恒成立，
故|2＋x|＋|2－x|≤.
由(1)可知，的最小值为4，
所以x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2，
故实数x的取值范围为[－2，2]．
简单的线性规划问题
[核心提炼]
1．平面区域的确定方法
平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．
2．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
[典型例题]
(1)(2019·高考浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．－1 B．1
C．10 D．12
(2)(2018·高考浙江卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最小值是____________，最大值是____________．
(3)(2019·宁波高考模拟)已知A(1，1)，B(－2，1)，O为坐标原点，若直线l：ax＋by＝2与△ABO所围成区域(包含边界)没有公共点，则a－b的取值范围为________．
【解析】 (1)作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2，2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选C.
(2)由题可得，该约束条件表示的平面区域是以(2，2)，(1，1)，(4，－2)为顶点的三角形及其内部区域(图略)．由线性规划的知识可知，目标函数z＝x＋3y在点(2，2)处取得最大值，在点(4，－2)处取得最小值，则最小值zmin＝4－6＝－2，最大值zmax＝2＋6＝8.
(3)A(1，1)，B(－2，1)，O为坐标原点，若直线l：ax＋by＝2与△ABO所围成区域(包含边界)没有公共点，
得不等式组，
令z＝a－b，
画出不等式组表示的平面区域，判断知，z＝a－b在M取得最小值，
由
解得M(0，2)，
a－b的最小值为－2.
a－b的取值范围是(－2，＋∞)．
故答案为(－2，＋∞)．
【答案】 (1)C (2)－2 8 (3)(－2，＋∞)
解决线性规划问题应关注的三点
(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
[对点训练]
1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知实数x，y满足，若ax＋y的最大值为10，则实数a＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选C.画出满足条件的平面区域，如图所示：
由，解得A(3，4)，
令z＝ax＋y，因为z的最大值为10，
所以直线在y轴上的截距的最大值为10，即直线过(0，10)，
所以z＝ax＋y与可行域有交点，
当a＞0时，
直线经过A时z取得最大值．
即ax＋y＝10，将A(3，4)代入得：
3a＋4＝10，解得a＝2，当a≤0时，直线经过A时z取得最大值，
即ax＋y＝10，将A(3，4)代入得：3a＋4＝10，解得：a＝2，与a≤0矛盾，
综上a＝2.
2．在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝( )
A．2 B．4
C．3 D．6
解析：选C.作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，
过点C，D分别作直线x＋y－2＝0的垂线，垂足分别为A，B，
则四边形ABDC为矩形，又C(2，－2)，D(－1，1)，
所以|AB|＝|CD|＝
＝3.
3．(2019·温州市高考模拟)若实数x，y满足，则y的最大值为________，的取值范围是________．
解析：作出不等式组，对应的平面区域如图：
可知A的纵坐标取得最大值：2.
因为z＝，则z的几何意义为区域内的点到定点D(－2，－1)的斜率，由图象知BD的斜率最小，AD的斜率最大，则z的最大为＝，最小为＝，
即≤z≤，
则z＝的取值范围是[，]．
答案：2 [，]
基本不等式及其应用
[核心提炼]
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值)．
[典型例题]
(1)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．
(2)(2019·金丽衢十二校高考二模)设A＝{(x，y)|x2－a(2x＋y)＋4a2＝0}，B＝{(x，y)||y|≥b|x|}，对任意的非空实数a，均有A⊆B成立，则实数b的最大值为________．
【解析】 (1)因为ab＞0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当时取等号，故的最小值是4.
(2)由x2－a(2x＋y)＋4a2＝0得y＝x2－2x＋4a，
则＝|＋－2|，
当ax＞0时，＋≥2＝4，
所以|＋－2|≥|4－2|＝2，即≥2，
当ax＜0时，＋≤－2＝－4，
所以|＋－2|≥|－4－2|＝6，即≥6，
因为对任意实数a，均有A⊆B成立，
即|y|≥b|x|恒成立，即≥b恒成立，
所以b≤2，
故答案为2.
【答案】 (1)4 (2)2
利用不等式求最值的解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
[对点训练]
1．(2019·温州市瑞安市高考模拟)若x＞0，y＞0，则＋的最小值为________．
解析：设＝t＞0，则＋＝＋t＝＋(2t＋1)－≥2－＝－，
当且仅当t＝＝时取等号．
故答案为：－.
答案：－
2．(2018·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
解析：因为∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得acsin120°＝asin60°＋csin60°，化简得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，则4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a时取等号，故4a＋c的最小值为9.
答案：9
专题强化训练
1．(2019·金华十校联考)不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是( )
A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2
C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3
解析：选A.由(m－2)(m＋3)＜0得－3＜m＜2，即不等式成立的等价条件是－3＜m＜2，
则不等式(m－2)(m＋3)＜0的一个充分不必要条件是(－3，2)的一个真子集，
则满足条件是－3＜m＜0.
故选A.
2．已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )
A．2 B．－2
C．－ D.
解析：选B.根据不等式与对应方程的关系知－1，－是一元二次方程ax2＋x(a－1)－1＝0的两个根，所以－1×＝－，所以a＝－2，故选B.
3．已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C.因为lg2x＋lg8y＝lg2，
所以x＋3y＝1，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，
当且仅当＝，
即x＝，y＝时，取等号．
4．若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：选B.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(1，2)、B(2，1)，当两条平行直线间的距离最小时，两平行直线分别过点A与B，又两平行直线的斜率为1，直线AB的斜率为－1，所以线段AB的长度就是过A、B两点的平行直线间的距离，易得|AB|＝，即两条平行直线间的距离的最小值是，故选B.
5．(2019·金丽衢十二校高三联考)若函数f(x)＝(a)在区间(1，＋∞)上的最小值为6，则实数a的值为( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：选B.f(x)＝＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当2(x－1)＝⇒x＝1＋时，等号成立，所以2＋4＝6⇒a＝，故选B.
6．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4，20] D．[－4，20)
解析：选B.不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，
假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0⇒a－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.
7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟高三联考)已知变量x，y满足约束条件，若不等式2x－y＋m2≥0恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．[－，]
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．[－，]
D．(－∞，－]∪[，＋∞)
解析：选D.作出约束条件所对应的可行域(如图中阴影部分)，令z＝－2x＋y，当直线经过点A(－4，－1)时，z取得最大值，
即zmax＝(－2)×(－4)＋(－1)＝7.
所以m2≥7，即实数m的取值范围为(－∞，－]∪[，＋∞)，故选D.
8．已知b>a>0，a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )
A．log3a>0 B．3a－b
C．log2a＋log2b－2 D．3≥6
解析：选C.对于A，由log3a>0可得log3a>log31，
所以a>1，又b>a>0，a＋b＝1，所以a，两者矛盾，所以A不正确；
对于B，由3a－b可得3a－b－1，
所以a－b－1，可得a＋1b，这与b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正确；
对于C，由log2a＋log2b－2可得log2(ab)－2＝log2，
所以ab，又b>a>0，a＋b＝1>2，
所以ab，两者一致，
所以C正确；
对于D，因为b>a>0，a＋b＝1，
所以3>3×2＝6，所以D不正确．故选C.
9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中)已知x，y∈R，( )
A．若|x－y2|＋|x2＋y|≤1，则(x＋)2＋(y－)2≤
B．若|x－y2|＋|x2－y|≤1，则(x－)2＋(y－)2≤
C．若|x＋y2|＋|x2－y|≤1，则(x＋)2＋(y＋)2≤
D．若|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，则(x－)2＋(y＋)2≤
解析：选B.对于A，|x－y2|＋|x2＋y|≤1，由(x＋)2＋(y－)2≤化简得x2＋x＋y2－y≤1，二者没有对应关系；对于B，由(x2－y)＋(y2－x)≤|x2－y|＋|y2－x|＝|x－y2|＋|x2－y|≤1，
所以x2－x＋y2－y≤1，即(x－)2＋(y－)2≤，命题成立；对于C，|x＋y2|＋|x2－y|≤1，由(x＋)2＋(y＋)2≤化简得x2＋x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系；对于D，|x＋y2|＋|x2＋y|≤1，化简(x－)2＋(y＋)2≤得x2－x＋y2＋y≤1，二者没有对应关系．故选B.
10．若关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
解析：选A.关于x的不等式x3－3x2－ax＋a＋2≤0在x∈(－∞，1]上恒成立，
等价于a(x－1)≥x3－3x2＋2＝(x－1)(x2－2x－2)，
当x＝1时，1－3－a＋a＋2＝0≤0成立，
当x＜1时，x－1＜0，
即a≤x2－2x－2，
因为y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3≥－3恒成立，
所以a≤－3，故选A.
11．(2019·温州市高三高考模拟)若关于x的不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，则实数对(a，b)＝________．
解析：因为不等式|x|＋|x＋a|＜b的解集为(－2，1)，
所以，解得a＝1，b＝3.
答案：(1，3)
12．若实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．
解析：实数x，y满足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，则xy＝2，
则＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号，
故＋的最小值是2，
＝＝＝≤＝，当且仅当x－y＝，即x－y＝2时取等号，
故的最大值为，故答案为2，.
答案：2
13．(2019·兰州市高考实战模拟)若变量x，y满足约束条件，则z＝2x·的最大值为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4，0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.
答案：16
14．已知函数f(x)＝，则关于x的不等式f(f(x))≤3的解集为________．
解析：令f(t)≤3，若t≤0，则2－t－1≤3，2－t≤4，解得－2≤t≤0；若t>0，则－t2＋t≤3，t2－t＋3≥0，解得t>0，所以t≥－2，即原不等式等价于或，解得x≤2.
答案：(－∞，2]
15．(2019·宁波市九校联考)已知f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a(x＞0)的最小值为，则实数a＝________．
解析：f(x)＝|x＋－a|＋|x－－a|＋2x－2a≥|(x＋－a)－(x－－a)|＋2x－2a
＝||＋2x－2a
＝＋2x－2a
≥2－2a
＝4－2a.
当且仅当＝2x，即x＝1时，上式等号成立．
由4－2a＝，解得a＝.
答案：
16．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)若|x2＋|x－a|＋3a|≤2对x∈[－1，1]恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：|x2＋|x－a|＋3a|≤2化为－2－x2≤|x－a|＋3a≤2－x2，画出图象，可知，其几何意义为顶点为(a，3a)的V字型在x∈[－1，1]时，始终夹在y＝－2－x2，y＝2－x2之间，如图1，图2所示，
为两种临界状态，首先就是图1的临界状态，此时V字形右边边界y＝x＋2a与y＝－2－x2相切，联立直线方程和抛物线方程可得x2＋x＋2a＋2＝0，此时Δ＝0⇒1－4(2a＋2)＝0⇒a＝－，而图2的临界状态显然a＝0，
综上得，实数a的取值范围为.
答案：
17．(2019·温州模拟)已知a，b，c∈R，若|acos2x＋bsinx＋c|≤1对x∈R成立，则|asinx＋b|的最大值为________．
解析：由题意，设t＝sinx，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1恒成立，
不妨设t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1，则|b－c|≤1，
若a，b同号，则|asinx＋b|的最大值为
|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2；
若a，b异号，则|asinx＋b|的最大值为
|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2；
综上所述，|asinx＋b|的最大值为2，
故答案为2.
答案：2
18．(2019·丽水市第二次教学质量检测)已知函数f(x)＝(a≠0)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若当x∈[0，1]时，不等式f(x)≥1恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)要使函数有意义，需4－|ax－2|≥0，即
|ax－2|≤4，|ax－2|≤4⇔－4≤ax－2≤4⇔－2≤ax≤6.
当a>0时，函数f(x)的定义域为{x|－≤x≤}；
当a时，函数f(x)的定义域为{x|≤x≤－}．
(2)f(x)≥1⇔|ax－2|≤3，记g(x)＝|ax－2|，因为x∈[0，1]，
所以需且只需⇔⇔－1≤a≤5，
又a≠0，所以－1≤a≤5且a≠0.
19．(2019·丽水市高考数学模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)>1；
(2)对任意的b∈(0，1)，当x∈(1，2)时，f(x)>恒成立，求a的取值范围．
解：(1)f(x)＝>1⇔x2＋1x＋1|⇔或⇔0x
故不等式的解集为{x|0x．
(2)f(x)＝>⇔|x＋a|>b(x＋)⇔x＋a>b(x＋)或x＋a－b(x＋)⇔a>(b－1)x＋或a－[(b＋1)x＋]对任意x∈(1，2)恒成立．
所以a≥2b－1或a≤－(b＋2)对任意b∈(0，1)恒成立．
所以a≥1或a≤－.
