2021届山东高考数学一轮创新教学案：第2章　第3讲　函数的奇偶性与周期性-教习网|学案下载

第3讲　函数的奇偶性与周期性

 

1.函数的奇偶性

 

2.周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

1.概念辨析

(1)“a＋b＝0”是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性”的必要条件．(　　)

(2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　)

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．(　　)

(5)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(6)若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)×

2.小题热身

(1)下列函数中为奇函数的是(　　)

A.y＝x2sinx B．y＝x2cosx

C.y＝|ln x|  D．y＝2－x

答案　A

解析　A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．

(2)若f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝________.

答案　－1

解析　因为f(x)是R上周期为2的函数，

所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，

所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.

(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.

答案　－5

解析　因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，

所以f(－2)＋f(0)＝－5.

(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.

答案　3

解析　因为函数y＝f(x)是偶函数，

所以f(－1)＝f(1)，

因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

所以f(1)＝f(3)＝3.

综上可知，f(－1)＝3.

(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为________．

答案　(－2,0)∪(2,5]

解析　因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如下，

观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5].

题型 一　函数的奇偶性　

角度1　判断函数的奇偶性

1.(2020·成都市高三阶段考试)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)

①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.

A.①③ B．②③ 

C．①④ D．②④

答案　D

解析　因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，由f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝x是定义在R上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数.

2.判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝＋；

(2)f(x)＝(1－x) ；

(3)f(x)＝；

(4)f(x)＝

解　(1)由得x2＝3，解得x＝±，

即函数f(x)的定义域为{－，}，

∴f(x)＝＋＝0.

∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，

∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)由≥0得－1≤x，

所以f(x)的定义域为[－1,1)，

所以函数f(x)是非奇非偶函数．

(3)由得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．

∴x－2，∴|x－2|－2＝－x，

∴f(x)＝.

又f(－x)＝＝＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数．

(4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x时，－x>0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知，对于定义域内的任意x，

总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.

角度2　奇函数、偶函数性质的应用

3.(2019·衡水模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若x＞0时，f(x)＝xln x，则x＜0时，f(x)＝(　　)

A.xln x B．xln (－x)

C.－xln x D．－xln (－x)

答案　B

解析　设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－xln (－x)．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝xln (－x).

4.函数f(x)＝－的最大值是M，最小值是m，则f(M＋m)的值等于(　　)

A.0  B．2π 

C．π  D.

答案　D

解析　设h(x)＝，则h(－x)＝－h(x)，所以h(x)是一个奇函数，所以函数h(x)的最大值和最小值的和是0，所以M＋m＝π，所以f(M＋m)＝.

5.若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

答案　－

解析　解法一：因为f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，所以f(－x)＝ln (e－3x＋1)－ax＝ln －ax＝ln －ax＝ln (1＋e3x)－3x－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，所以－3－a＝a，解得a＝－.

解法二：函数f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，

即ln (e－3x＋1)－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，

化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，

即＝e2ax，

整理得e2ax＋3x＝1.

所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.

1.判断函数奇偶性的三种方法

(1)定义法(如举例说明2)

(2)图象法

(3)性质法(如举例说明1(③))

设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.

2.函数奇偶性的应用

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.

(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．

(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.

注意：对于定义域为I的奇函数f(x)，若0∈I，则f(0)＝0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m，则f(－2)等于(　　)

A.－3  B．－ 

C. D．3

答案　A

解析　由已知得，f(0)＝20＋m＝0.

解得m＝－1.

当x≥0时，f(x)＝2x－1，

所以f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.

2.(2019·辽宁名校联考)函数y＝x2lg 的图象(　　)

A.关于x轴对称

B.关于原点对称

C.关于直线y＝x对称

D.关于y轴对称

答案　B

解析　记f(x)＝x2lg ，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f(－x)＝(－x)2lg ＝x2lg ＝－x2lg ＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，即函数y＝x2lg 的图象关于原点对称.

3.(2019·武汉十校联考)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝(　　)

A.ex－e－x B.(ex＋e－x)

C.(e－x－ex)  D.(ex－e－x)

答案　D

解析　∵f(x)＋g(x)＝ex，①

∴f(－x)＋g(－x)＝e－x，

又f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

∴f(x)－g(x)＝e－x，②

由①②解得g(x)＝.故选D.

题型 二　函数的周期性

1.(2019·温州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的最小正周期等于T，则下列函数的最小正周期一定等于的是(　　)

A.f(2x)  B．f 

C．2f(x)  D．f(x2)

答案　A

解析　由已知得f(x＋T)＝f(x)，所以f(2x＋T)＝f(2x)，即f＝f(2x)，所以函数f(2x)的周期是；f＝f，即f＝f，所以函数f的周期是2T；2f(x＋T)＝2f(x)，所以函数2f(x)的周期是T.函数f(x2)不一定是周期函数.

2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋ex，则f(2020)＝________.

答案　1

解析　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝，

所以f(x＋4)＝＝f(x)，

所以函数f(x)的周期为4.

当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋ex，

所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.

1.求函数周期的方法

 

2.函数周期性的应用

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.(2019·绵阳模拟)函数f(x)＝则f(9)＝________.

答案　1

解析　f(9)＝f(9－4)＝f(5)＝f(5－4)＝f(1)＝2×1－1＝1.

2.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．

答案　7

解析　因为当0≤x时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，

则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.

又f(1)＝0，

∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，

故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.

题型 三　函数性质的综合应用　

角度1　单调性与奇偶性结合

1.(2019·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减，若f(2a)＞f(1－a)，则a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　因为函数f(x)为R上的偶函数，

所以f(2a)＞f(1－a)⇔f(|2a|)＞f(|1－a|)，

又当x≥0时，f(x)单调递减，

所以|2a|＜|1－a|，所以(2a)2＜(1－a)2，

即3a2＋2a－1＜0，解得－1＜a＜.

角度2　周期性与奇偶性结合

2.(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

A.－50  B．0 

C．2  D．50

答案　C

解析　因为f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，

f(x＋4)＝f[1－(x＋3)]＝f(－x－2)＝－f(x＋2)＝－f[1－(x＋1)]＝－f(－x)＝f(x)．

所以f(x)是周期为4的函数．

因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，

因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，

因为f(2)＝f(2－4)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，故选C.

角度3　单调性、奇偶性和周期性结合

3.(2019·青岛二中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则f，f(4)，f的大小关系正确的是(　　)

A.f＞f(4)＞f

B.f(4)＞f＞f

C.f＞f(4)＞f

D.f＞f＞f(4)

答案　C

解析　由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)，

又f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，

所以f＝f＝f，

f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.

f＝f＝f，

又x∈[0,1)时，f(x)单调递增．

故奇函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

所以f＞f(0)＞f，

即f＞f(4)＞f.

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略

(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.

(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.

(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.

1.已知函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则f(2－x)＞0的解集为(　　)

A.(1,3)  B．(－∞，1)∪(3，＋∞)

C.(－1,1)  D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案　A

解析　f(x)＝(x－1)(mx＋n)＝mx2＋(n－m)x－n.

∵函数f(x)＝(mx＋n)(x－1)为偶函数，

∴f(－x)＝f(x)．

即mx2＋(n－m)x－n＝mx2－(n－m)x－n，

得－(n－m)＝(n－m)，即n－m＝0，则m＝n，

则f(x)＝mx2－m，

∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴m＜0，

由f(2－x)＞0，得m(2－x)2－m＞0，

即(2－x)2－1＜0，得x2－4x＋3＜0，

得1＜x＜3，即不等式的解集为(1,3).

2.(2019·广东珠海模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，f(x)＝－f(－x)，且在[0,1]上有f(x)＝x2，则f＝(　　)

A. B. 

C．－ D．－

答案　D

解析　因为f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数，

因为f(x)＝f(2－x)，

所以f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，

所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝f(x)，

所以函数f(x)是以4为周期的函数，

所以f＝f＝f

＝－f，

因为在[0,1]上有f(x)＝x2，

所以f＝2＝，

所以f＝－f＝－.

3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是(　　)

A.增函数  B．减函数

C.先增后减的函数  D．先减后增的函数

答案　D

解析　根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

　组　基础关

1.(2019·武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A.f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝tanx

C.f(x)＝x＋ D．f(x)＝|x|

答案　A

解析　f(x)＝|x|是偶函数，排除D；f(x)＝x＋在(0，＋∞)上先减后增，排除C；f(x)＝tanx在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B；f(x)＝ex－e－x符合题意.

2.函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能为(　　)

答案　A

解析　因为f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，排除B；由两函数的图象可知当x∈时，y＝f(x)·g(x)；当x∈时，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有选项A符合题意，故选A.

3.(2020·烟台适应性练习)已知定义在R上的函数f(x)的周期为2，且满足f(x)＝若f＝f，则f(5a)等于(　　)

A. B．－ 

C. D.

答案　B

解析　由于函数f(x)的周期为2，所以f＝f＝－＋a，f＝f＝＝，所以－＋a＝，所以a＝，因此f(5a)＝f(3)＝f(－1)＝－1＋＝－.故选B.

4.已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝(　　)

A.2  B．3 

C．4  D．5

答案　D

解析　∵y＝f(x)＋x是偶函数，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，则f(－2)＝f(2)＋4＝5，故选D.

5.(2019·成都模拟)若函数f(x)＝1－的图象关于原点对称，则实数a等于(　　)

A.－2  B．－1 

C．1  D．2

答案　A

解析　由已知得，函数f(x)为奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－＋1－＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.

6.(2019·合肥模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a，b，“a>|b|”是“f(a)>f(b)”的(　　)

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　因为f(x)是偶函数，所以f(|b|)＝f(b)．因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，a＞|b|≥0.所以f(a)＞f(|b|)＝f(b)．若f(a)＞f(b)．举反例f(－3)＝f(3)＞f(1)，而－3＜|1|.故由f(a)＞f(b)无法得到a＞|b|.所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要条件.

7.已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)＞0，那么实数m的取值范围是(　　)

A. B.

C.(1,3)  D.

答案　A

解析　∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1＜x＜1，f(－x)＝－f(x)，∴f(m－2)＋f(2m－3)＞0可转化为f(m－2)＞f(－2m＋3)．∵f(x)是减函数，∴m－2＜－2m＋3，

∴∴1＜m＜.

8.已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝lg x，则f的值为________．

答案　－lg 2

解析　由已知得f＝lg ＝－2.

f(－2)＝－f(2)＝－lg 2，所以f＝－lg 2.

9.已知奇函数f(x)(x∈R)满足f(x＋4)＝f(x－2)，且当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，则f(2021)＝________.

答案　－4

解析　因为函数f(x)(x∈R)为奇函数满足f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x＋6)＝f(x)，

即函数f(x)是以6为周期的周期函数，

因为当x∈[－3,0)时，f(x)＝＋3sinx，所以f(2021)＝f(337×6－1)＝f(－1)＝＋3sin＝－4.

10.(2020·甘肃天水摸底)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[1,2]上的解析式是________．

答案　f(x)＝log2(3－x)

解析　因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，

当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．

所以设x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．

所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，

又f(x)为偶函数，

所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x).

　组　能力关

1.已知p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则p是q成立的(　　)

A.充分不必要条件  B．必要不充分条件

C.充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　若函数f(x)＝ln (x＋)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋)＋ln (x＋)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件.

2.已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2019，则g(x)的最大值与最小值之和为(　　)

A.0  B．1 

C．2019  D．4038

答案　D

解析　因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.

3.(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)

A.(1,3)  B．(－1,1)

C.(－1,0)∪(1,3)  D．(－1,0)∪(0,1)

答案　C

解析　若x∈[－2,0]，则－x∈[0,2]，

∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，

∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，

∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，

即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，

即在一个周期[－2,2]内，

f(x)＝

若x∈[2,4]，则x－4∈[－2,0]，

即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，

作出函数f(x)在[－2,4]上的图象如图：

则当x∈[－1,3]时，不等式xf(x)>0等价为或即1x或－1x，所以不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3).

4.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有＜0，记a＝，b＝，c＝，则(　　)

A.a＜c＜b B．a＜b＜c 

C．c＜b＜a D．b＜c＜a

答案　A

解析　设0x1＜x2，由x2f(x1)－x1f(x2)>0，得＞，所以函数g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，因此a＝＝g(4.10.2)＜g(1)，b＝＝g(0.42.1)>g(0.42)>g(0.5)，c＝＝g(log0.24.1)＝g(log4.1)＝g(－log54.1)＝g(log54.1)∈(g(1)，g(0.5))，即acb，选A.

5.若函数f(x)＝x为偶函数，则a＝________.

答案　1或－1

解析　令u(x)＝1－，

根据函数f(x)＝x为偶函数，可知u(x)＝1－为奇函数，利用u(0)＝1－＝0，

可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.

6.(2019·河北重点中学联考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：

①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.

其中正确的是________(正确的序号都填上)．

答案　①②④

解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.