平面直角坐标系
适用学科 |
初中数学 |
适用年级 |
初二 |
适用区域 |
北师版区域 |
课时时长（分钟） |
120 |
知识点 |
利用有序实数对确定位置
平面直角坐标系及点的坐标
点坐标的象限特征
点坐标到坐标轴的距离
在平面直角坐标系由坐标找位置
求平面直角坐标系内图形的面积
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教学目标 |
1、明确确定位置的必要性,掌握确定位置的基本方法.
2、认识平面直角坐标系,了解点的坐标的意义,会用坐标表示点,能根据点的坐标画出点.
3、经历对平面直角坐标系的探讨过程,使学生初步认识平面直角坐标系及其意义.
4、通过对平面直角坐标系的探讨,培养学生善于观察问题的习惯及数学应用意识.
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教学重点 |
感受确定物体位置的多种方式与方法.
平面直角坐标系和点的坐标.
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教学难点 |
能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置.
正确画出坐标并找出对应点.
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【教学建议】
创设情境,引入新课，由有序实数对确定电影院、班级座位的位置,进而引入今天学习的内容：在平面直角坐标系内表示点的位置.
【知识导图】
1.定义:在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系.其中水平的数轴称为x轴,竖直方向的数轴称为y轴或纵轴.两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
注:(1)横轴取向右为正方向,纵轴取向上为正方向,一般情况下,横轴和纵轴的单位长度取一致;
(2)建立平面直角坐标系,必须满足三个条件;
a.两条数轴 b.互相垂直 c.公共原点
请同学们在草稿纸上画一个平面直角坐标系.
2.点的坐标:
过平面内任一点M分别作x轴、y轴的垂线段,设垂足所在位置对应的数分别为x、y,则x叫做点M的横坐标、y叫做点M的纵坐标,有序数对(x,y)叫做点M的坐标.
3.探究活动.
将任意点A放入直角坐标系中,由其所处的位置让学生确定点的坐标.在此过程中,学生将对由点确定坐标的方法不断深化,并逐渐理解并掌握点的坐标是一对有序的实数.并介绍象限的含义,同时,通过观察,让学生发现点在各个象限内以及点在坐标轴上的坐标特点.
教师提出问题:
(1)点在各个象限的坐标有什么特点?
(2)坐标轴上的点有什么特点?
(3)坐标轴上的点属于第几象限呢?
4.(1)各象限内点的坐标的符号的确定:
P(a,b) |
第一象限 |
第二象限 |
第三象限 |
第四象限 |
a,b与0的大小关系 |
a>0,b>0 |
a0 |
a |
a>0,b |
符号特征 |
(+,+) |
(-,+) |
(-,-) |
(+,-) |
(2)坐标轴上的点的坐标特征:
点P(a,b)在x轴上时记作P(a,0)
点P(a,b)在y轴上时记作P(0,b)
原点记作(0,0)
(3)在平面直角坐标系中的点和有序数对是一一对应的关系.
即:对于平面直内任意一点,都有唯一的有序数对与它对应.
对于任意的有序数对,平面上都有唯一的一个点与它对应.
根据坐标描点的步骤:
(1)找到该点的横坐标在x轴上对应的位置,过该位置作x轴的垂线;
(2)找到该点的纵坐标在y轴上对应的位置,过该位置作y轴的垂线;
(3)两线的交点即为要描出的点的位置.
三、探究体验
探索活动(1):
由坐标描出点的位置,给学生提供动手实践的机会.由学生自己根据对平面直角坐标系的理解,亲自动手,独立操作,师生共同进行归纳总结.
同时,针对本节课的易错点,即点的坐标的表示形式,设计了顺口溜形式,作为本节课阶段性小结:“平面直角坐标系,两条数轴来唱戏.一个点,两个数,先横后纵再括号,中间隔开用逗号.”
探索活动(2):
创意空间:由学生动手,在坐标系中选取点,标明坐标,并将点连成线,创作一幅作品,看谁最有创意,谁的创意更新颖、更丰富,并将学生的作品进行展示.
探索活动(3):
在全班展示互动游戏来深化本节课的教学.以班里的某个同学所在的位置为坐标原点,建立全班范围的平面直角坐标系.
问题:1.你所在的象限以及你的坐标是多少?
2.在x轴、y轴上的同学,你们的坐标有什么特点?
3.横坐标为2的同学起立,你们所在的直线和y轴上的同学有什么位置关系?纵坐标为-1的同学起立,你们所在直线和x轴上的同学有什么位置关系?
4.你的坐标和你到x轴、y轴的距离有什么关系?
类型一 利用有序实数对确定位置
1、如果约定街在前，巷在后，阳光花园在5街2巷的十字路口，用有序数对表示为（ ）
（A）(2，5) （B）(5，2) （C）(5，5) （D）(2，2)
【解析】B
【总结与反思】利用有序实数对确定位置
类型二 平面直角坐标系及点的坐标
1、有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个 来表示，点（3，-4）的横坐标是 ，纵坐标是 。
【解析】有序实数对，3，-4
【总结与反思】平面直角坐标系中点的坐标
类型三 点坐标的象限特征
1、在平面直角坐标系中，点P（-2,5）在 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
【解析】B
【总结与反思】点坐标的象限特征
2、若点P（a，b）在第四象限内，则a，b的取值范围是（ ）
（A）a>0,b （B）a>0,b>0 （C）a0 （D）a
【解析】A
【总结与反思】点坐标的象限特征
类型四 点坐标到坐标轴的距离
点P在第二象限，且到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则点P的坐标是______。
【解析】（-3,2）
【总结与反思】到坐标轴的距离与点坐标的表示
类型五 建立平面直角坐标系求点的坐标
1、如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A点，(0，4)表示
B点，那么C点的位置可表示为( )
（A）(0，3) （B）(2，3)
（C）(3，2) （D）(3，0)
【解析】C
【总结与反思】建立平面直角坐标系由已知点求点的坐标
类型六 求平面直角坐标系内图形的面积
如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，∠OAB＝45°
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积
【解析】（1）A(16,0),B(8,8),C(0,8)
（2）96
【总结与反思】平面直角坐标系由线段长求点的坐标
1、若点P（x,y）的坐标满足xy=0，则点P必在（）
（A）原点 （B）x轴上 （C）y轴上 （D）x轴或y轴上
2、已知，则点P（-a，-b）的坐标为（ ）
（A）（2,3） （B）（-3，3） （C）（-2,3） （D）（-2，-3）
3、若点A(2,m)在x轴上，则点B(m-1,m+1)在 （ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
4.如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标。
（2）求出
（3）若把△ABC向上平移2个单位，再向右平移2个单位得△A′B′C′，在图中画出△A′B′C′，并写出A′、B′、C′的坐标。
答案与解析
1.【答案】D
【解析】点坐标的数轴特征
2.【答案】B
【解析】点坐标的象限特征
3.【答案】B
【解析】点坐标的数轴特征求m的值，进而得出B点坐标
4.【答案】（1）A（-1，-1） B（4，2） C（1，3）；（2）7；（3）A′（1，1） B′ （6，4） C′（3，5）
【解析】（1）A（-1，-1） B（4，2） C（1，3）
（2）＝4×5-×4×2-×5×3-×3×1=7；
（3）如图所示：
A′（1，1） B′ （6，4） C′（3，5）
1.已知点A在轴上方，轴的左边，则点A到轴、轴的距离分别为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=6，请建立不同的平面直角坐标系，并分别写出长方形ABCD的各个顶点的坐标。
3.在平行四边形ACBO中，AO=5，则点B坐标为(-2,4)
（1）写出点C坐标.
（2）求出平行四边形ACBO面积.
答案与解析
1.【答案】C
【解析】点坐标到坐标轴的距离
2. 【答案】坐标系建立如右图所示：
A（0，2），B（0，0），C（6，0），B（6，2）
【解析】建立适当的平面直角坐标系表示点的坐标
3. 【答案】（1）C(-7,4) （2）20
【解析】在平面直角坐标系表示点的坐标及面积
1、对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标 ．
2、若点P（，）到轴的距离是，到轴的距离是，则这样的点P有（ ）
（A）１个 （B）２个 （C）３个 （D）４个
3、已知A（0，4）B（-3，0），P在X轴上的一个动点，若要使三角形ABP为等腰三角形，则点P的坐标为 。
答案与解析
1.【答案】A（-3，0），B（3，0），G（0，）
【解析】建立适当的平面直角坐标系表示点的坐标
2. 【答案】D
【解析】到坐标轴的距离与点坐标的表示
3. 【答案】(2,0), (-8,0)，B(，0)，(3,0)
【解析】直角坐标系中等腰三角形的存在性
本节讲了5个重要内容：
1． 平面直角坐标系及点的坐标
2． 点坐标的象限特征
3． 点坐标到坐标轴的距离
4． 在平面直角坐标系由坐标找位置
5． 求平面直角坐标系内图形的面积
1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1，2）、（3，–1），则第四个顶点的坐标为（ ）。
（A）（2，2） （B）（3，2） （C）（3，3） （D）（2，3）
2、已知点A(3a+5,a-3)在二、四象限的角平分线上，则a= 。
3、已知点P（2m-5，m-1 ），当m为何值时，
（1）点P在第二、四象限的平分线上？
（2）点P在第一、三象限的平分线上？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】在平面直角坐标系中求点的坐标
2.【答案】
【解析】二、四象限角平分线上点的特点.
3.【答案】（1）m=2（2）m=4
【解析】一、三或二、四象限角平分线上点的特点
1、平行于x轴的直线上的任意两点的坐标之间的关系是( )
（A）横坐标相等 （B）纵坐标相等
（C）横坐标的绝对值相等 （D）纵坐标的绝对值相等
2、如图所示，建立平面直角坐标系是点B、C的坐标分别为（0,0），（4,0），写出A、D、E、F、G的坐标，并写出所在象限。
3、如图是某体育场看台台阶的一部分，如果A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）
（1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；
（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较有什么变化？
（3）如果台阶有10级，你能求的该台阶的长度和高度吗？
答案与解析
1.【答案】B
【解析】平行于坐标轴的直线上点的特点.
2.【答案】A（-2，3），D（6，1），E（5，3），F（3，2），G（1，5）
【解析】在平面直角坐标系中求点的坐标.
3.【答案】（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，所以C，D，E，F各点的坐标分别为C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5).
（2）B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5.
（3）每级台阶高为1，宽也为1，所以10级台阶的高度是10，长度为11。
【解析】建立平面直角坐标系求点的坐标并比较变化.
1、若点P到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点P的坐标为 ＿＿＿，它到原点的距离为＿＿＿＿＿。
2、如图、已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车在轴上行驶，从原点O出发．
（1）汽车行驶到什么位置时离A村最近？写出此点的坐标．
（2）汽车行驶到什么位置时离B村最近？写出此点的坐标．
（3）请在图中画出汽车行驶到什么位置时，距离两村的和最短？
3、如图，已知(1，0)、(1，1)、(－1，1)、(－1，－1)、(2，－1)、….则点的坐标为________ 。
答案与解析
1.【答案】（2，3），（-2，3），（2，-3），（-2，-3）;
【解析】由到坐标轴的距离求点的坐标，并计算与原点的距离.
2.【答案】（1）在x轴上距离A村最近的地方是过A作x轴垂线的垂足，即（2,0）;（2）（7,0）;
（3）（4,0）.
【解析】点坐标与最值问题.
3.【答案】（-502，-502）
【解析】点坐标与规律探索.
